В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор , действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором (а также опера́тором проекти́рования и проекцио́нным опера́тором) если . Иногда проекционный оператор называют идемпотентным.

Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции.

В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор является проектором, если и только если существуют такие подпространства и пространства , что раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любого элемента имеем , а для любого элемента имеем . Подпространство называется образом, а  — ядром проектора .

В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно. Поэтому, для подпространства пространства , вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с .

Свойства проекционных операторов

• Пусть — тождественный оператор. Если - проектор, то - тоже проектор, причём и .
• В конечномерном нормированном пространстве все проекционные операторы непрерывны.
• Для банахова же пространства проекционный оператор будет непрерывным, если его образ замкнут, при этом ядро проектора тоже окажется замкнутым. Таким образом, непрерывный проектор задаёт разложение пространства в прямую сумму замкнутых подпространств: .
• Собственными значениями проектора могут быть только 0 и 1. Соответствующими собственными подпространствами проектора будут его ядро и образ.

Комбинации проекторов

Пусть и проекторы заданные на пространстве и проектирующие на подпространства и соответственно. Тогда

• — проектор на подпространстве , в том и только том случае, когда .
• является проектором тогда и только тогда, когда . проектирует на подпространство .
• Если , то  — проектор на подпространство .

Примеры

• Ортогональная проекция (смотрите ниже) точек (x, y, z) пространства на плоскость Oxy задаётся матрицей

Действует на точки она следующим образом:

• Простейший неортогональный проектор осуществляет косоугольную проекцию точек плоскости на прямую. Он задаётся матрицей:

Легко показать, что это действительно проектор:

Проекция, задаваемая P, ортогональна, если и только если .

Ортогональный проектор

Если пространство — гильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогональный проектор.

Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства U и V ортогональны друг другу, иными словами, когда , или , или . В этом случае проекция элемента является ближайшим к нему элементом пространства U.

Литература

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.