25-01-2024
Гармонический осциллятор (в классической механике) — это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы , пропорциональной смещению (согласно закону Гука):
где — коэффициент жёсткости системы.
Если — единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором. Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.
Если имеется ещё и сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую систему называют затухающим или диссипативным осциллятором. Если трение не слишком велико, то система совершает почти периодическое движение — синусоидальные колебания с постоянной частотой и экспоненциально убывающей амплитудой. Частота свободных колебаний затухающего осциллятора оказывается несколько ниже, чем у аналогичного осциллятора без трения.
Если осциллятор предоставлен сам себе, то говорят, что он совершает свободные колебания. Если же присутствует внешняя сила (зависящая от времени), то говорят, что осциллятор испытывает вынужденные колебания.
Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами отклонения), груз на пружине, торсионный маятник и акустические системы. Среди других аналогов гармонического осциллятора стоит выделить электрический гармонический осциллятор (см. LC-цепь).
Содержание |
В качестве модели консервативного гармонического осциллятора возьмём груз массы , закреплённый на пружине жёсткостью .
Пусть — это смещение груза относительно положения равновесия. Тогда, согласно закону Гука, на него будет действовать возвращающая сила:
Используя второй закон Ньютона, запишем
Обозначая и заменяя ускорение на вторую производную от координаты по времени , напишем:
Это дифференциальное уравнение описывает поведение консервативного гармонического осциллятора. Коэффициент называют циклической частотой осциллятора. (Здесь имеется в виду круговая частота, измеряющаяся в радианах в секунду. Чтобы перевести её в частоту, выражающуюся в Герцах, надо разделить круговую частоту на )
Будем искать решение этого уравнения в виде:
Здесь — амплитуда, — частота колебаний (пока не обязательно равная собственной частоте), — начальная фаза.
Подставляем в дифференциальное уравнение.
Амплитуда сокращается. Значит, она может иметь любое значение (в том числе и нулевое — это означает, что груз покоится в положении равновесия). На синус также можно сократить, так как равенство должно выполняться в любой момент времени . И остаётся условие на частоту колебаний:
Отрицательную частоту можно отбросить, так как произвол в выборе этого знака покрывается произволом выбора начальной фазы.
Общее решение уравнения записывается в виде:
где амплитуда и начальная фаза — произвольные постоянные. Эта запись исчерпывает все решения дифференциального уравнения, так как позволяет удовлетворить любым начальным условиям (начальному положению груза и его начальной скорости).
Итого, консервативный гармонический осциллятор может совершать чисто гармонические колебания с частотой, равной его собственной частоте, с амплитудой любой величины и с произвольной начальной фазой.
Кинетическая энергия записывается в виде
и потенциальная энергия есть
тогда полная энергия имеет постоянное значение
Простое гармоническое движение — это движение простого гармонического осциллятора, периодическое движение, которое не является ни вынужденным, ни затухающим. Тело в простом гармоническом движении подвергается воздействию единственной переменной силы, которая по модулю прямо пропорциональна перемещению x, и направлена в обратную сторону.
Это движение является периодическим: тело колеблется около положения равновесия по синусоидальному закону. Каждое последующее колебание такое же как и предыдущее, и период, частота и амплитуда колебаний остаются постоянными. Если принять, что положение равновесия находится в точке с координатой, равной нулю, то перемещение x тела в любой момент времени даётся формулой:
где A — амплитуда колебаний, f — частота, φ — начальная фаза.
Частота движения определяется характерными свойствами системы (например, массой движущегося тела), в то время как амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями — перемещением и скоростью тела в момент начала колебаний. Кинетическая и потенциальная энергии системы также зависят от этих свойств и условий.
Простое гармоническое движение может быть математическими моделями различных видов движения, таких как колебание пружины. Другими случаями, которые могут приближённо рассматриваться как простое гармоническое движение, являются движение маятника и вибрации молекул.
Простое гармоническое движение является основой некоторых способов анализа более сложных видов движения. Одним из таких способов является способ, основанный на преобразовании Фурье, суть которого сводится к разложению более сложного вида движения в ряд простых гармонических движений.
Типичным примером системы, в которой происходит простое гармоническое движение, является идеализированная система груз-пружина, в которой груз присоединён к пружине. Если пружина не сжата и не растянута, то на груз не действует никаких переменных сил, и груз находится в состоянии механического равновесия. Однако, если груз вывести из положения равновесия, пружина деформируется, и с её стороны на груз будет действовать сила, которая будет стремиться вернуть груз в положение равновесия. В случае системы груз-пружина такой силой является сила упругости пружины, которая подчиняется закону Гука:
где
Любая система, в которой происходит простое гармоническое движение, обладает двумя ключевыми свойствами:
Система груз-пружина удовлетворяет обоим этим условиям.
Однажды смещённый груз подвергается действию возвращающей силы, ускоряющей его, и стремящейся вернуть в начальную точку, то есть, в положение равновесия. По мере того, как груз приближается к положению равновесия, возвращающая сила уменьшается и стремится к нулю. Однако в положении x = 0 груз обладает некоторым количеством движения (импульсом), приобретённым благодаря действию возвращающей силы. Поэтому груз проскакивает положение равновесия, начиная снова деформировать пружину (но уже в противоположном направлении). Возвращающая сила будет стремиться замедлить его, пока скорость не станет равной нулю; и сила вновь будет стремиться вернуть груз в положение равновесия.
Пока в системе нет потерь энергии, груз будет колебаться как описано выше; такое движение называется периодическим.
Дальнейший анализ покажет, что в случае системы груз-пружина движение является простым гармоническим.
Для колебания в одномерном пространстве, учитывая Второй закон Ньютона (F = m d²x/dt²) и закон Гука (F = −kx, как описано выше), имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
где
Решение этого дифференциального уравнения является синусоидальным; одно из решений таково:
где A, ω, и φ — это постоянные величины, и положение равновесия принимается за начальное.[1] Каждая из этих постоянных представляет собой важное физическое свойство движения: A — это амплитуда, ω = 2πf — это круговая частота, и φ — начальная фаза.[2]
Используя приёмы дифференциального исчисления, скорость и ускорение как функция времени могут быть найдены по формулам:
Ускорение может быть также выражено как функция перемещения:
Поскольку ma = −mω²x = −kx, то
Учитывая, что ω = 2πf, получим
и поскольку T = 1/f, где T — период колебаний, то
Эти формулы показывают, что период и частота не зависят от амплитуды и начальной фазы движения.
Кинетическая энергия K системы в функции времени t такова:
и потенциальная энергия есть
Полная механическая энергия системы, однако, имеет постоянное значение
Простое гармоническое движение представлено в различных простых физических системах, и ниже приведены некоторые примеры.
Масса m, прикреплённая к пружине с постоянной жёсткостью k является примером простого гармонического движения в пространстве. Формула
показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и ускорения свободного падения.
Простое гармоническое движение в некоторых случаях можно рассматривать как одномерная проекция универсального движения по окружности. Если объект движется с угловой скоростью ω по окружности радиуса r, центром которой является начало координат плоскости x-y, то такое движение вдоль каждой из координатных осей является простым гармоническим с амплитудой r и круговой частотой ω.
В приближении малых углов движение простого маятника является близким к простому гармоническому. Период колебаний такого маятника, прикреплённого к стержню длиной ℓ с ускорением свободного падения g даётся формулой
Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но зависит от ускорения свободного падения g, поэтому при той же самой длине маятника, на Луне он будет вращаться медленнее, так как там слабее гравитация и меньше значение ускорения свободного падения.
Указанное приближение является корректным только при небольших углах, поскольку выражение для углового ускорения пропорционально синусу координаты:
где
Когда угол θ мал, можно считать, что sin θ ≈ θ, и выражение принимает вид:
что делает угловое ускорение прямо пропорциональным углу θ, а это удовлетворяет определению простого гармонического движения.
Взяв за основу ту же модель, добавим в неё силу вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:
Проводя аналогичные действия, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:
Здесь введено обозначение: . Коэффициент носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.
Решение же распадается на три случая.
Критическое затухание примечательно тем, что именно при критическом затухании осциллятор быстрее всего стремится в положение равновесия. Если трение меньше критического, он дойдёт до положения равновесия быстрее, однако «проскочит» его по инерции, и будет совершать колебания. Если трение больше критического, то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение.
Поэтому в стрелочных индикаторах (например, в амперметрах) обычно стараются ввести именно критическое затухание, чтобы прочитать его показания можно было максимально быстро.
Затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью. Добротность обычно обозначают буквой . По определению, добротность равна:
Чем больше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.
У осциллятора с критическим затуханием добротность равна 0,5. Соответственно, добротность указывает характер поведения осциллятора. Если добротность больше 0,5, то свободное движение осциллятора представляет собой колебания; со временем он пересечёт положение равновесия неограниченное количество раз. Добротность меньше или равная 0,5 соответствует неколебательному движению осциллятора; в свободном движении он пересечёт положение равновесия не более одного раза.
Добротность иногда называют коэффициентом усиления осциллятора, так как при некоторых способах возбуждения при совпадении частоты возбуждения с резонансной амплитуда колебаний оказывается примерно в раз больше, чем при возбуждении на низкой частоте.
Также добротность примерно равна количеству колебательных циклов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в раз, умноженному на .
В случае колебательного движения затухание ещё характеризуют такими параметрами, как:
Колебания осциллятора называют вынужденными, когда на него производится некоторое дополнительное воздействие извне. Это воздействие может производиться различными средствами и по различным законам. Например, силовым возбуждением называется воздействие на груз силой, зависящей только от времени по определённому закону. Кинематическим возбуждением называют воздействие на осциллятор движением точки закрепления пружины по заданному закону. Возможно также воздействие трением — это когда, например, среда, с которой груз испытывает трение, совершает движение по заданному закону.
Бутиков Е. И. Собственные колебания линейного осциллятора. Учебное пособие
Гармонический осциллятор с затуханием за период колебаний теряет 5 механической энергии, гармонический осциллятор с вязким трением, гармонический осциллятор фото.
Ледяные пауки, Лувр в Абу-Даби, Институциональный инвестор, Болгарский коммунистический союз молодёжи.