Возведение в степень — бинарная операция, первоначально происходящая из многократного умножения натурального числа на самого себя. Обозначение: называется степенью с основанием и показателем .

Натуральная степень

Число называется n-й степенью числа , если

.

Свойства:

6. запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности , результат будет зависеть от последовательности действий, например, , а . Принято считать запись равнозначной , а вместо можно писать просто , пользуясь предыдущим свойством.
7. возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, , например, , но .

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Целая степень

не определён

Рациональная степень

По определению,

(результат не определен при и )

См. корень степени q

Вещественная степень

Пусть .

В школе вещественную функцию вводят, используя тот факт, что между любыми двумя рациональными числами существует иррациональное, а между любыми двумя иррациональными — рациональное. Тогда , где , , где  — погрешность вычисления. Таким образом, для любого иррационального числа r подбираются два рациональных p и q с необходимой степенью точности и любое число между и принимается за ответ.

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов. (см. определение комплексной степени)

Потенцирование

Потенцирование (от нем. potenzieren, возведение в степень) — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

Из определения логарифма вытекает, что . Таким образом, потенцирование означает возведение основания логарифма в степень, равную значению логарифма. Например, если десятичный логарифм числа равен , то искомое число равно .

Термин «потенцирование» впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659).

Комплексная степень

Сначала покажем, как вычисляется экспонента , где e — число Эйлера, z — произвольное комплексное число, .

Теперь рассмотрим общий случай , где оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив a в экспоненциальной форме и используя тождество , где Ln — комплексный логарифм:

Следует иметь в виду, что комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Степень как функция

Поскольку в выражении принимает участие две переменных, то его можно рассматривать как:

• функцию переменной x (при этом y — параметр). Такая функция называется степенной. Это — частный случай полиномиальной функции.
• функцию переменной y (при этом x — параметр). Такая функция называется показательной. Её частный случай — экспонента.
• функцию двух переменных.

Значок степени

Исторически степень, начиная с Декарта, обозначали «двухэтажной» записью вида . Когда появились компьютеры и компьютерные программы, возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень таким способом. В связи с этим изобрели особые значки для операции возведения в степень.

Первым таким значком были две звёздочки: **, используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: (о такой стрелке см. Стрелки Кну́та). Язык BASIC предложил символ ^ («циркумфлекс»), который приобрёл наибольшую популярность. Его теперь часто используют и при написании формул и математических выражений в текстовых файлах.

Примеры:

3^2=9;     5^2=25;     2^3=8;     5^3=125

Случается, что циркумфлекс используют и при написании сложных, громоздких математических выражений и формул на бумаге (особенно с громоздким показателем).

На компьютерной клавиатуре значок степени (циркумфлекс) находится на той же клавише, что и цифра 6. Для его ввода надо в режиме набора английского текста нажать Shift+6.

В случае нескольких степеней подряд, «многоэтажная» запись степени и запись её с помощью значка степени (значков потребуется несколько) имеют разную ассоциативность: В записи a^b^c^d^f (с помощью значка степени) ассоциативность левая, то есть возведения в степень выполняются в порядке очерёдности слева направо: ((((a^b)^c)^d)^f) — именно так вычисляет такое выражение (которое без скобок) программа Excel; в записи же (многоэтажный способ) ассоциативность правая, то есть возведения в степень выполняются в порядке справа налево: (a^(b^(c^(d^f)))).

См. также

• e (математическая константа)
• Логарифм — обратная к возведению в степень функция.
• Корень n-й степени — обратная к возведению в степень функция.
• Квадрат — возведение во вторую степень.
• Куб — возведение в третью степень.
• Тетрация — обобщение возведения в степень.
• Гипероператор
• Экспоненциальная запись
• Экспонента

Ссылки

• А. Б. Будак, Б. М. Щедрин «Элементарная математика» — Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ